3A - La piramide a base rombica

Nel problema di compito ci sono alcuni punti da richiamare. E' meglio partire dal disegno in modo da chiarire gli errori commessi.

Innanzitutto guardiamo su Geogebra il solido e il suo sviluppo nel piano:

https://www.geogebra.org/m/HMfXPRG.

Poi disegniamo la piramide:

Si vede bene che l'altezza cade al centro del rombo, che è anche il centro della circonferenza inscritta nel rombo. Il raggio di questa circonferenza è l'apotema di base o apotema del rombo (NON DELLA PIRAMIDE!). L'apotema della piramide C, come noterai, NON cade a metà del lato e si può trovare applicando Pitagora al triangolo rettangolo i cui cateti sono h della piramide ed apotema di base a. In altre due immagini puoi vedere quanto descritto: 

  

Il rombo è un quadrilatero, ovvero un poligono formato da 4 lati. Le due diagonali si intersecano nel centro del rombo. Queste diagonali dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli.

Immagine da Scuola  Elettrica https://scuolaelettrica.it

All'interno del rombo è possibile inscrivere un cerchio che tocca tutti i lati della figura.

Il centro del rombo coincide con il centro del cerchio da cui parte il raggio r, che a sua volta coincide con l'apotema del rombo. 

Il raggio della circonferenza inscritta nel rombo è l’apotema del rombo.

Come si calcola l'apotema?

Esempio (da scuola elettrica)

Un rombo ha l'area di 864 cm² e il lato di 30 cm.

Calcolare l’apotema (il raggio della circonferenza inscritta nel rombo).

Dal disegno sopra riportato capisci che questo raggio è l’altezza del triangolo rettangolo ODC (O centro  del rombo; D e C vertici consecutivi del rombo). La formula inversa è h=(2A)/b. L’area del triangolo ODC è l’area del rombo divisa per 4 (infatti il disegno ti mostra che il rombo è diviso in 4 triangoli uguali: ODC, OAD, OAB, OBC. Noi ne consideriamo uno solo, ODC, la cui area è dunque 864/4= 216 cm².

L’area del triangolo ODC è la metà del prodotto:  metà d1 x metà d2 cioè:

apotema rombo= raggio circonferenza inscritta nel rombo= altezza ODC=  (2x216)/30=14,4 cm

Risposta

Il raggio r del cerchio inscritto nel rombo è lungo 14,4 cm.

Siamo pronti per risolvere il nostro problema.

Dati

Base: rombo

d1=30 cm

d2=40 cm

h piramide= 5 cm

Riguardiamo lo sviluppo nel piano della piramide rombica e il solido.

Se conosco l’altezza della piramide e l’apotema di base posso trovare l’apotema della piramide per poi calcolare l’area della superficie laterale con la formula (p_base x a)/2.          

Nella figura  a destra vedi che il triangolo a cui applicare Pitagora ha come cateti l’altezza della piramide e l’apotema di base (cioè l’apotema del rombo).

Il rombo di base del problema ha l'area di (40x30)/2=600 cm² e il lato che abbiamo calcolato con Pitagora: ⎷ 625= 25 cm.

Calcoliamo l’apotema di base (il raggio della circonferenza inscritta nel rombo).

Per quanto detto nell’esempio precedente, considero una dei 4 triangoli (vedi figura), per esempio ODC. 

Il raggio cercato è l’altezza relativa all’ipotenusa.

La formula inversa è h=(2A)/b.

L’area del triangolo ODC è l’area del rombo divisa per 4 (infatti il disegno ti mostra che il rombo è diviso in 4 triangoli uguali: ODC, OAD, OAB, OBC. Noi ne consideriamo uno solo, ODC, la cui area è dunque 600/4= 150 cm².

L’area del triangolo ODC è la metà del prodotto:  metà d1 x metà d2 cioè:

apotema rombo=raggio circonferenza inscritta nel rombo=altezza ODC=(2x150)/25= 12 cm

Il raggio r del cerchio inscritto nel rombo (o apotema del rombo) è lungo 12 cm. 

Ora posso applicare Pitagora al triangolo che ha per cateti l’altezza della piramide e l’apotema di base.

Quindi:

apotema piramide=⎷ 25 + 144=⎷ 169= 13 cm

Poi con la formula:

(pxa)/2 calcolo la superficie laterale della piramide:

(25x4x13)/2=1300/2=650 cm²

e sommando l’area di base che valeva 600 cm² calcolo la superficie totale:

600+650=1250 cm²