Un poligono con i lati e gli angoli uguali è detto poligono regolare. Chiamiamo poliedro regolare un solido convesso, racchiuso da facce regolari tutte tra loro uguali (ovvero da poligoni regolari), i cui angoli solidi siano tutti uguali.
La somma degli angoli che delimitano un angoloide non può raggiungere 360°, dove per angoloide si intende la parte di spazio racchiusa da tre o più piani che si intersecano lungo spigoli concorrenti in un vertice.
Sollevando V si può realizzare una piramide con la base fissa e
gli angoloidi variabili. Ora, man mano che ci allontaniamo dalla base,
l'angoloide della piramide in V diminuisce la sua ampiezza così come la somma
dei singoli angoli formati dagli spigoli che concorrono in V. Quando V sta sul
piano di base la somma degli angoli vale esattamente 360° ma non esistono più
né l’angoloide né la piramide, e V non è più il vertice di una figura solida.
Il poliedro deve essere costruito con facce regolari. Prendiamo allora in esame i vari poligoni.
Partiamo dal triangolo equilatero: ha gli angoli di 60° gradi. Possiamo accostare 3 triangoli : 3 x 60° = 180° < 360° e costruiamo così un angoloide. Poiché è possibile chiuderlo con un altro triangolo uguale ai precedenti, si può costruire un tetraedro; il tetraedro (da tetra = quattro) infatti è formato da 4 facce triangolari.
Possiamo accostare 4 triangoli equilateri intorno ad un vertice: si avrà 4 x 60° = 240° < 360°. Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Se si chiude con un altro angoloide uguale, utilizzando in tutto 8 triangoli equilateri, si ottiene l' ottaedro, un solido che ha facce ed angoloidi uguali tra loro ed è quindi un poliedro regolare.
Possiamo accostare 5 triangoli : 5 x 60° = 300° < 360°. Si può costruire l'angoloide unendo tra loro due lati estremi. Si può chiudere il poliedro utilizzando in tutto 20 triangoli equilateri uguali, ottenendo un icosaedro (da icos = 20).
Accostando invece 6 triangoli equilateri non è più soddisfatta la condizione che la somma degli angoli deve essere <360°: le facce si " schiacciano " su un piano. Dunque non possono esistere altri poliedri regolari con facce triangolari oltre i tre già trovati.
Possiamo ora accostare dei quadrati : con 3 x 90°= 270° < 360°, si ottiene un angoloide che permette poi di costruire un cubo o esaedro. Già quattro quadrati non vanno più bene, perché la somma dei quattro angoli che concorrono in un vertice è uguale a 360°: si rimane così nel piano.
Usiamo adesso dei pentagoni : la somma degli angoli interni di un pentagono regolare è data da (n-2)x180° con n = 5, dunque ogni angolo interno misura 108°, così tre angoli misurano : 3 x 108° = 324°<360°. Si ottiene un dodecaedro.
Con quattro pentagoni la somma 4 x 108° > 360°. Dunque non possono esistere altri poliedri regolari con più di tre facce pentagonali.
Con tre esagoni la situazione si presenta in questo modo: ogni angolo interno misura 120°. Accostando tre esagoni si realizza un angolo di 360° e questo non ci permette di uscire dal piano.
Non è possibile nessuna altra costruzione, con nessun altro poligono regolare.
Infatti gli angoli interni dei poligoni regolari con più di 6 lati sono maggiori di 120°. Poiché per costruire un angoloide occorrono almeno tre di tali poligoni, la somma degli angoli che delimitano l'angoloide sarebbe maggiore di 360°, mentre la condizione per poter costruire un solido convesso è che tale somma sia minore di 360°.
In conclusione non si possono avere che cinque poliedri.
Per materiali interessanti guarda su geobra-tube.
Prova a digitare dodecahedron nella barra della ricerca per accedere a un 3D rotating dodecahedron. Ripeti con Net of an Octaherdron. Dovresti arrivare qui e poi accedere al Foglio di lavoro studente.
Nessun commento:
Posta un commento