Laboratorio geometria: solidi platonici

Su Wikipedia ci sono i solidi animati.
Un poligono con i lati e gli angoli uguali è detto poligono regolare. Chiamiamo poliedro regolare un solido convesso, racchiuso da facce regolari tutte tra loro uguali (ovvero da poligoni regolari), i cui angoli solidi siano tutti uguali.
La somma degli angoli che delimitano un angoloide non può raggiungere 360°, dove per angoloide si intende la parte di spazio racchiusa da tre o più piani che si intersecano lungo spigoli concorrenti in un vertice.

                   

Sollevando V si può realizzare una piramide con la base fissa e gli angoloidi variabili. Ora, man mano che ci allontaniamo dalla base, l'angoloide della piramide in V diminuisce la sua ampiezza così come la somma dei singoli angoli formati dagli spigoli che concorrono in V. Quando V sta sul piano di base la somma degli angoli vale esattamente 360° ma non esistono più né l’angoloide né la piramide, e V non è più il vertice di una figura solida.

Il poliedro deve essere costruito con facce regolari. Prendiamo allora in esame i vari poligoni.

Partiamo dal triangolo equilatero: ha gli angoli di 60° gradi. Possiamo accostare 3 triangoli : 3 x 60° = 180° < 360° e costruiamo così un angoloide. Poiché è possibile chiuderlo con un altro triangolo uguale ai precedenti, si può costruire un tetraedro; il tetraedro (da tetra = quattro) infatti è formato da 4 facce triangolari.

 

    

   

   

Possiamo accostare 4 triangoli equilateri intorno ad un vertice: si avrà 4 x 60° = 240° < 360°. Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Se si chiude con un altro angoloide uguale, utilizzando in tutto 8 triangoli equilateri, si ottiene l' ottaedro, un solido che ha facce ed angoloidi uguali tra loro ed è quindi un poliedro regolare.
Possiamo accostare 5 triangoli : 5 x 60° = 300° < 360°. Si può costruire l'angoloide unendo tra loro due lati estremi. Si può chiudere il poliedro utilizzando in tutto 20 triangoli equilateri uguali, ottenendo un icosaedro (da icos = 20).
Accostando invece 6 triangoli equilateri non è più soddisfatta la condizione che la somma degli angoli deve essere <360°: le facce si " schiacciano " su un piano. Dunque non possono esistere altri poliedri regolari con facce triangolari oltre i tre già trovati.

Possiamo ora accostare dei quadrati : con 3 x 90°= 270° < 360°, si ottiene un angoloide che permette poi di costruire un cubo o esaedro. Già quattro quadrati non vanno più bene, perché la somma dei quattro angoli che concorrono in un vertice è uguale a 360°: si rimane così nel piano.

Usiamo adesso dei pentagoni : la somma degli angoli interni di un pentagono regolare è data da (n-2)x180° con n = 5, dunque ogni angolo interno misura 108°, così tre angoli misurano : 3 x 108° = 324°<360°. Si ottiene un dodecaedro.
Con  quattro pentagoni la somma 4 x 108° > 360°. Dunque non possono esistere altri poliedri regolari con più di tre facce pentagonali.

Con tre esagoni la situazione si presenta in questo modo: ogni angolo interno misura 120°. Accostando tre esagoni si realizza un angolo di 360° e questo non ci permette di uscire dal piano.
Non è possibile nessuna altra costruzione, con nessun altro poligono regolare.
Infatti gli angoli interni dei poligoni regolari con più di 6 lati sono maggiori di 120°. Poiché per costruire un angoloide occorrono almeno tre di tali poligoni, la somma degli angoli che delimitano l'angoloide sarebbe maggiore di 360°, mentre la condizione per poter costruire un solido convesso è che tale somma sia minore di 360°.
In conclusione non si possono avere che cinque poliedri.

 Per materiali interessanti guarda su geobra-tube.
Prova a digitare dodecahedron nella barra della ricerca per accedere a un 3D rotating dodecahedron. Ripeti con Net of an Octaherdron. Dovresti arrivare qui e poi accedere al Foglio di lavoro studente.

Prepariamo l'Open Day - classe 2A

PROFUMO
Si chiama profumo una miscela di una base di alcol o sostanze oleose, con sostanze odorose, il cui uso è principalmente quello di procurare sensazioni gradevoli.
Componenti essenziali sono soprattutto l'alcool ed essenze naturali in esso disciolte, oppure, come sempre più spesso accade, elementi sintetici profumati, chiamati "materie odorose" nel linguaggio specialistico.
 Per la composizione di un profumo vengono mescolati insieme da 30 ad 80 elementi profumati, scelti fra le circa 200 essenze naturali ed i quasi 2000 elementi sintetici esistenti.
A seconda della concentrazione dei principi odorosi in essi contenuti, distinguiamo alcune categorie:

- Eau de Cologne (3–5 %, cioè 3-5 gocce di principio odoroso e 97 gocce di alcol)
- Eau de Toilette (6–9 %)
- Eau de Parfum (da 10–14 % fino a 20 %)

METODI DI PREPARAZIONE
DISTILLAZIONE IN CORRENTE DI VAPORE
Si fa passare il vapore attraverso una grande quantità di componenti vegetali da cui si vuole estrarre l'olio essenziale e si fa raffreddare. Il vapore condensa e sull'acqua galleggia l'olio essenziale estratto.

ENFLEURAGE
Si adagiano i petali di fiori fragili come il gelsomino e la tuberosa che mal sopportano il calore su un telaio ricoperto di grasso, che ne assorbe l’odore. L’operazione viene rinnovata circa 30 volte. Si ottiene quindi una pomata profumata. Si raschia la pomata dal telaio e la si lava in alcool, ottenendo un olio profumato che viene filtrato, dando origine all’”assoluto” dal quale si raffinerà il profumo. SPREMITURA
La spremitura è una tecnica di estrazione riservata alle scorze degli agrumi, che si avvale di azioni meccaniche quali raschiatura, pressione, centrifugazione, ecc… Si pressano o raschiano le scorze per svuotare le cellule oleose del loro contenuto odoroso, che viene in seguito centrifugato e filtrato, per ricavare l’olio essenziale o essenza.
ESTRAZIONE CON SOLVENTI In un apposito recipiente si effettuano ripetuti lavaggi della materia naturale con un solvente volatile (ad esempio l’esano C6H14) che possiede un alto potere solubilizzante e si elimina facilmente per evaporazione. Noi abbiamo usato l'etanolo (alcol etilico).

LA PIRAMIDE OLFATTIVA
 E’ costituita da 3 livelli che permettono di illustrare lo sviluppo temporale della fragranza:

• NOTE DI TESTA
• NOTE DI CUORE (O CORPO)
• NOTE DI FONDO (O CODA)

Esse caratterizzano le varie fasi di persistenza del profumo. Le note di testa si percepiscono durante i primi 10 minuti dopo l’applicazione; leggere e fresche, attirano l’attenzione e fanno intuire l’evoluzione del profumo, fondendosi con gradualità e armonia alle note di cuore. Le note di cuore (o corpo) sono rappresentate dagli elementi più pesanti che si sprigionano per circa 4/6 ore e che esprimono il tema principale o carattere del profumo. Le note di fondo (o coda) sono elementi persistenti e meno volatili che durano anche più giorni e che sono avvertite solo impercettibilmente attraverso le note di testa.

CLASSI OLFATTIVE
Questa suddivisione è particolarmente utile per orientare la scelta nel vasto mondo dei profumi. Esistono criteri rigorosi per la classificazione dei profumi, che si dividono in sette classi olfattive e in varie sottoclassi.
AGRUMATO ( O ESPERIDATO) Sono note spesso fresche e leggere derivanti da agrumi quali il bergamotto, il mandarino, l' arancio amaro, il limone e il cedro.
AMBRATO Da una sostanza animale chiamata "ambra grigia" prodotta dal capodoglio oppure creata in laboratorio, il cui odore è ricco di sfumature animali, legnose balsamiche e simili al tabacco. CIPRIATO Deriva dal nome del profumo che Francois Coty lanciò nel 1917, ispirato dalle suggestive emozioni dell' isola di Cipro.
FIORITO Suddivisa in due grandi categorie: i verdi ricavati da galbano (Ferula gummosa), lentisco, prezzemolo e foglie di violetta, e i fioriti-fioriti con predominanza di fiori con una profumazione intensa come la rosa, il geranio, la tuberosa, i fiori d' arancio ed altri.
FOUGERE Significa felce (traduzione letterale della parola francese), e comprende essenzialmente tutti i profumi maschili che hanno un accordo nato dall'abbinamento di muschio di quercia e lavanda, del legno del patchouly, del geranio e del bergamotto.
LEGNOSO E’ caratterizzato da note legnose come quella del sandalo o del patchouly.
MUSCHIATO O CUOIATI Sono proprio le note muschiate a dare alle fragranze sostanza e profondità e tra le tante sfumature. Le più utilizzate sono il muschio di quercia e quello d'albero, mentre le altre hanno la base legnosa o di cuoio. Il muschio vegetale non deve essere confuso con il musk, sostanza di origine animale.

COME SENTIAMO I PROFUMI

Le cellule olfattive sono distribuite in una zona ristretta della parte più alta delle fosse nasali e sono circa 50 milioni. Hanno un prolungamento che termina in una serie di peluzzi olfattivi che reagiscono con le sostanze odorose e danno origine all’impulso nervoso. I prolungamenti centrali delle cellule olfattive costituiscono le fibre del nervo olfattorio, che penetrano nella cavità cranica attraverso la lamina cribrosa dell’osso etmoide, e terminano nel bulbo olfattorio dell’encefalo.

Prepariamo l'Open Day - classe 3A

Le emozioni si esibiscono nel teatro del corpo, i sentimenti in quello della mente.
Le emozioni sono stati mentali e fisiologici associati a modificazioni psicofisiologiche.
I sentimenti sono la percezione di un certo stato del corpo, unito alla percezione del pensiero.
Le emozioni sono pubbliche, cioè visibili agli altri (la mimica, la voce, ecc.) o rilevabili con opportuni test. I sentimenti sono sempre nascosti, come tutti i nostri contenuti mentali, invisibili a chiunque altro se non a noi stessi.

In passato le basi neuro-anatomiche delle emozioni facevano riferimento solo al sistema limbico (ippocampo ed ipotalamo) e si credeva che per tutte le emozioni erano coinvolte le stesse strutture cerebrali. Si riteneva che il sistema emotivo fosse separato da quello cognitivo.
Oggi invece includiamo l'amigdala e la corteccia prefrontale tra le arre connesse alle emozioni, e non escludiamo i processi cognitivi da quelli emotivi.

La possibilità di esprimere all’esterno un’emozione è un fatto estremamente rilevante per la nostra salute psichica e fisica. Questa possibilità di espressione si basa su alcuni punti:
- la capacità di vivere l’esperienza a livello consapevole (non solo fisiologico)
- riconoscerla e darle un nome
- comunicarla all’esterno con un linguaggio adeguato invece di eliminarla, come con il pianto

Darwin e le emozioni
Darwin riteneva che molte delle espressioni facciali delle emozioni fossero utili per comunicare qualcosa senza bisogno di parole. Pensava che l’espressione delle emozioni fosse legata anche a degli aspetti di tipo fisiologico: emozionarsi vuol dire piangere, cambiare il ritmo del respiro, sudare… Sosteneva che molti degli aspetti delle nostre emozioni sono DEI "fossili comportamentali", cioè qualcosa che in una lontana preistoria dell'evoluzione aveva una sua funzione e che oggi invece ha un minor significato. Darwin è stato il primo che ha studiato in modo moderno le emozioni, per esempio sui neonati, sui propri figli - fotografandoli e disegnando le loro espressioni.Il saggio di Darwin, L'espressione delle emozioni nell'uomo e negli altri animali uscì nel 1872, un anno dopo l'Origine dell'uomo, ed ebbe un immediato successo di pubblico.

La paura
La paura ci porta a organizzare una difesa dalla minaccia esterna. E' positiva quando si traduce in una reazione efficace; è negativa se produce risposte svantaggiose che non risolvono la situazione di pericolo o di minaccia.
Lo stato pauroso ha due "gradi". La paura primaria riflette lo stato d'allarme istintivo di un individuo che si rende conto del pericolo e si confronta con esso attivando tutti gli strumenti per controllare la minaccia e le sue conseguenze. La paura secondaria riflette invece lo stato di paralisi emotiva di un individuo che perde il contatto la realtà e non reagisce restando in balia della minaccia e delle sue conseguenze. Brutti sogni
: gli incubi
Sigmund Freud sulle paure notturne afferma: "Il carattere istintivo degli incubi, nel senso stretto della parola è collegabile alla figura del mostro, sia esso una animale o un essere subumano, che visita i nostri sonni e ci terrorizza. Talvolta è una strega, talaltra un vampiro concepito come una persona morta che rianimata torni per succhiare il sangue dei vivi addormentati, o un uomo trasformato in lupo mannaro..."

Fisiologia della paura

Quando noi proviamo una emozione, come la la paura, sperimentiamo una serie di cambiamenti corporei: la bocca secca, l’accelerazione del battito cardiaco e del respiro, sudorazione delle mani, aumento della motilità intestinale, tensione muscolare.Questa è la componente “corporea” dell’emozione, responsabile della comunicazione del nostro stato emozionale (rossore, mimica facciale, postura corporea, incrinarsi della voce); l’altra è la componente cosciente, la consapevolezza che stiamo provando un’emozione.

L’emozione è il risultato di entrambe le componenti.

Gli anglosassoni usano due termini diversi per le due componenti: emotion per la componente corporea; la parola feeling è invece usata per la sensazione consapevole.

La componente cosciente è mediata in parte dalla corteccia cingolata ed in parte dai lobi frontali. La componente corporea è mediata da ipotalamo, amigdala e tronco dell’encefalo.

Letteratura

Nei racconti horror c'è un effetto traumatico sul lettore, che viene portato in una dimensione estranea al suo rassicurante quotidiano. Freud, in un suo famoso saggio del 1919, parla del perturbante, ciò che inquieta, mette a disagio, ci pone al di fuori dalle consuetudini, dal normale. Da ciò che è noto si passa all'ignoto, al perturbante. Il soggetto (il lettore o lo spettatore di un film) cade allora in uno stato di incontrollato disagio.

La 1E in laboratorio

Ospitiamo la 1E con i suoi esperimenti. Abbiamo aspirato con una siringa (senz'ago!) dell'aria fino a 3 ml, poi abbiamo appoggiato lo stantuffo sulla mano e spinto fin dove si riusciva. Abbiamo ripetuto con una siringa piena d'acqua fino a 3 ml. Se nel primo caso lo stantuffo si abbassava nel secondo era bloccato! Ciò vuol dire che l'aria si può comprimere mentre l'acqua no quindi... l'acqua è INCOMPRIMIBILE.

3 ml d'aria...

... si "schiacciano" fino a 1 ml!

Abbiamo preso acqua, bicchiere, bottiglietta, contenitori vari. Abbiamo provato a rispondere alle seguenti domande: per prendere una quantità d’acqua serve un contenitore? L’acqua assume la forma del contenitore? La possiamo versare (sul tavolo, per terra, in un altro contenitore)? Se la versiamo sul tavolo, si spande? Possiamo immergere la mano nell’acqua (l’acqua, cioè, si lascia penetrare)?
Poi abbiamo confrontato l'acqua con un sasso e con le lenticchie. Il sasso mantiene la sua forma e non può essere penetrato dalla mano. Tutti hanno detto che sassi, legni, lenticchie sono solidi, l'acqua no, e nemmeno l'olio, l'aceto e l'acetone che erano sul tavolo nelle loro bottiglie.

Si versa, si spande, assume la forma del recipiente, si penetra

Per alcuni aspetti il comportamento delle lenticchie è come quello dell'acqua, ma per altri no...

Si versano ma fanno "mucchietti" invece di spandersi, mentre assumono la forma del recipiente e si penetrano

Le lenticchie si comportano un po' come l'acqua e un po' no!

Ancora emozioni

Paul Ekman è stato professore di Psicologia all'università della California fino al 2004.
Ha compiuto importanti ricerche sulle emozioni umane e l'universalità delle espressioni ad esse associate. Questa teoria si basa sulle intuizioni di Charles Darwin.
Darwin pubblicò nel 1872 L'espressione delle emozioni nell'uomo e negli altri animali.... 
Leggiamo cosa scrive del modo di esprimere meraviglia:

Sebbene quando ci troviamo in questo stato la bocca sia generalmente aperta, le labbra tendono spesso a sporgere un po' in fuori. Questo movimento ci ricorda quello identico, ma molto più accentuato e vistoso, che si osserva nello scimpanzé o nell'orango presi da stupore. Poiché la profonda inspirazione che accompagna il primo trasalimento per la sorpresa viene seguita naturalmente da una energica espirazione, e poiché allora le labbra vengono spesso spinte in fuori, sembrerebbe che i vari suoni comunemente emessi in questa occasione possano trovare una spiegazione. Uno dei suoni più comuni è un profondo Oh!; questo suono ... è la naturale conseguenza dell'atteggiamento assunto dalla bocca, semiaperta e con le labbra sporgenti. In una notte tranquilla sul Beagle , in una piccola insenatura di Tahiti, furono fatti i fuochi artificiali per divertire gli indigeni; ogni volta che partiva un razzo, si faceva un silenzio assoluto, ma invariabilmente esso era seguito da un profondo e strascicato Oh! che risuonava in tutta la baia intorno.

Meraviglia

Secondo Ekman le emozioni universali sono sei: rabbia, felicità, disgusto, sorpresa, paura e tristezza. Quando si parla di universalità intendiamo espressioni geneticamente determinate e non influenzate dalla cultura. A confermare le sue teorie sono arrivati tanti studi  fra i quali quelli svolti negli anni 70 su una popolazione della Nuova Guinea che non aveva mai avuto contatti con la cultura occidentale. Un'altra scoperta fondamentale di Ekman riguarda l'esistenza delle microespressioni, impossibili da mascherare in quanto inconsce, che si manifestano per tempi brevissimi e che rivelano il vero stato d'animo della persona.
Le persone si abituano a mascherare determinate emozioni a causa di norme sociali di regolazione delle espressioni. Fingiamo di essere felici anche quando non siamo contenti di un regalo per non offendere il donatore, oppure ci sentiamo "costretti" per ragioni "sociali" a sorridere mascherando le nostre vere emozioni nei confronti di persone che non ci sono molto simpatiche o ci hanno fatto uno sgarbo. Ekman ha codificato espressioni e microespressioni a partire dal movimento dei muscoli facciali che le manifestano, scoprendo che non siamo capaci di usare consciamente tutti i muscoli che intervengono in una microespressione e quindi non possiamo simulare alla perfezione un'emozione: se mentiamo mancheranno dei "dettagli" espressivi, e analogamente non riusciamo a dissimulare del tutto la nostra vera emozione perché alcuni "segni" sfuggiranno al nostro controllo.
E' così che in Lie to me il dottor Lightman smaschera gli impostori. Quando noi proviamo una emozione, come la la paura, sperimentiamo una serie di cambiamenti corporei:  bocca secca, accelerazione del battito cardiaco e del respiro, sudorazione delle mani, aumento della motilità intestinale, tensione muscolare.

Questa è la componente “corporea” dell’emozione, responsabile della comunicazione del nostro stato emozionale (rossore, mimica facciale, postura corporea, incrinarsi della voce); l’altra è la componente cosciente, la consapevolezza che stiamo provando un’emozione.

Muscoli facciali à adottano la configurazione tipica della gioia, del dispiacere o della collera

Pallore à in reazione ad una cattiva notizia 

Rossore à reazione ad una situazione imbarazzante

Posture del corpo à  gioia, tristezza o scoraggiamento

Mani fredde e sudate à tradiscono l’apprensione

Battiti veloci del cuore àassociati alla tensione

Rallentamento dei battiti del cuore à terrore che paralizza

L’emozione è il risultato di entrambe le componenti, quella corporea e quella cosciente. Gli anglosassoni usano due termini diversi per le due componenti: emotion per la componente corporea; la parola feeling è invece usata per la sensazione consapevole.

Foto dei figli di Darwin usate dallo scienziato per i suoi studi sulle espressioni

Angoli, circonferenze, archi, corde...

Ripassiamo con le animazioni di GeoBra:

1-Angoli al centro ed angoli alla circonferenza corrispondenti: sposta i punti B o C per variare gli angoli; leggi le ampiezze e rifletti sui valori
2- Un angolo alla circonferenza che insiste su un arco pari a una semicirconferenza è un angolo ...
3- Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono ...
4- Osserva che il segmento AB è perpendicolare alla corda DE. Muovi il punto B lungo DE finché AB passa dal centro: cosa puoi dire di DB e BE?
5- Proprietà delle tangenti
6-Gioca con i poligoni inscritti: se vari n vari il numero dei lati, mentre con r vari la misura del raggio
7-Quadrilateri inscritti (inscribed in inglese): come sono gli angoli non consecutivi?
8-Come posso disegnare una circonferenza inscritta in un triangolo? Disegno le bisettrici del triangolo, che si incontrano nell'incentro. Che proprietà ha questo punto?

9-Posso inscrivere un triangolo in una circonferenza se trovo un punto equidistante dai vertici: esiste ed è ...

Qualcosa che non è chiaro? Scrivi un commento!

Il Laboratorio del mercoledì-2

Per capire come è stato costruito il rivestimento del vaso (che geometricamente si chiama tronco di cono) partiamo dal cono. Come si ottiene un cono? Come disegno il suo sviluppo (net in inglese) nel piano?
Rivediamo quello che abbiamo detto con tre animazioni realizzate con GeoBra:

- come si genera il cono dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto

- lo sviluppo del cono (clicca sul pulsante in basso a sinistra per far partire l'animazione); sposta il punto sul segmento che rappresenta l'altezza h o il raggio r per variare i dati

- ancora lo sviluppo, confrontato con il solido

Laboratorio classi terze

cubi

dannate linguette!

costruzione dei cubi

solidi

Galleria degli antenati

Luca Pacioli era nato intorno all'anno 1445 in Toscana, a Borgo San Sepolcro. Nel 1496 Ludovico il Moro lo chiama a Milano e lo incarica dell'insegnamento pubblico della matematica. Quando il Duca venne sconfitto dai Francesi, Pacioli, con il conterraneo Leonardo da Vinci, fa ritorno a Firenze. Il trattato De Divina Proportione venne scritto da Pacioli per il signore di Milano, e a Milano è conservato presso la Biblioteca Ambrosiana.

Il Laboratorio del mercoledi - 1

Durante il primo incontro abbiamo considerato diverse confezioni di prodotti vari. Le abbiamo smontate per capire come sono state costruite e abbiamo provato a riprodurle. Abbiamo visto cos'è uno sviluppo nel piano di un solido, cosa sono facce, vertici e spigoli. Nelle confezioni è necessario aggiungere delle "linguette" per permettere l'incollaggio delle parti, o lasciare dei lembi aggiuntivi che incastrandosi chiudono la scatola.


 Nel secondo incontro abbiamo costruito ex novo le confezioni, con risultati soddisfacenti in tempi brevi. Poi abbiamo cominciato a studiare in dettaglio il cubo.

I cubi disegnati da Leonardo per Luca Pacioli

Luca Pacioli, autore del De Divina Proportione (1497)

Il cubo di Sara

Abbiamo visto le sue caratteristiche e poi ci siamo chiesti qual è il suo sviluppo nel piano. Ci siamo accorti che c'è più di uno sviluppo e che alcune disposizioni di 6 facce funzionano. La prof ha detto che ci sono 35 disposizioni possibili e che solo una parte corrisponde allo sviluppo di un cubo. Quante e quali sono queste disposizioni valide?

Il quaderno di Sara mostra alcune delle soluzioni proposte. Si è visto subito che se c'è un blocco di 4 quadratini il cubo non si forma e queste disposizioni sono state scartate. Si è provato a vedere se funzionano le proposte costruendo i cubi corrispondenti. Si è visto che si considerano soluzioni doppie. Il gruppo si è poi chiesto se c'è un metodo per assicurarci di aver considerato tutti gli sviluppi validi ed eliminare i doppi.
Dovremo rivedere il lavoro la prossima volta, usando il lego per rappresentare gli sviluppi e cercando una strategia efficace.